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必修二

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平面向量

向量夹角的余弦值

设 \(\vec{a}=(x_1,y_1)\) , \(\vec{b}=(x_2,y_2)\) ，则有： \(\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\)。 坐标表示：\(\cos \theta = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}\)

向量的投影

向量 \(\vec{a}\) 在向量 \(\vec{b}\) 上的投影向量为： \( |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \theta \cdot \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{\left(\vec{a} \cdot \vec{b}\right) \cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\)

向量平行和垂直的坐标表示

  • 向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 平行，当且仅当： \(\vec{a} \times \vec{b} = 0\)。 坐标表示为： \(x_1 y_2 - y_1 x_2 = 0\)

  • 向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 垂直，当且仅当： \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)。 坐标表示为： \(x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0\)

极化恒等式

对于任意两个向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\)，有： \(\vec{a} \cdot \vec{b} = (\frac{\vec{a} + \vec{b} }{2})^2 - (\frac{\vec{a} - \vec{b} }{2})^2\)

即两向量数量积等于中线向量的平方减三角形底边一半的平方

中线长公式

在三角形 \(ABC\) 中，若 \(D\) 是 \(BC\) 的中点，则有： \( AD^2 = \frac{1}{2}AB^2 + \frac{1}{2}AC^2 - \frac{1}{4}BC^2 \)

三角形四心的性质

  • 重心（G）：重心是三角形三条中线的交点，且是中线的三等分点 \(\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}\)

  • 垂心（H）：垂心是三角形三条高的交点 \(\vec{HA} \cdot \vec{HB} = \vec{HA} \cdot \vec{HC} = \vec{HB} \cdot \vec{HC}\)

  • 外心（O）：外心是三角形三边垂直平分线的交点，且是外接圆的圆心 \(|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = |\vec{OC}|\)

  • 内心（I）：内心是三角形三条角平分线的交点，且是内切圆的圆心 \(a \cdot \vec{IA} + b \cdot \vec{IB} + c \cdot \vec{IC} = \vec{0}\)

立体几何

斜二测画法

\( S' = \frac{\sqrt{2}}{4} S \)

\( S = 2 \sqrt{2} S' \)

其中 \(S\) 是原面积，\(S'\) 是斜二测画法画出图形的面积

平面

  1. 基本事实 1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
  2. 基本事实 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
  3. 推论 1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
  4. 推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。
  5. 推论 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。

直线与直线平行

  1. 基本事实 4 平行于同一条直线的两条直线平行。
  2. 定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

直线与平面平行

  1. 定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
  2. 定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行。

平面与平面平行

  1. 定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。
  2. 定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行。

直线与平面垂直

  1. 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行。
  2. 定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。

平面与平面垂直

  1. 定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。
  2. 定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。

表面积与体积

棱台、圆台、圆锥

\(V_{棱台} = \frac{1}{3} h (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})\)

\(V_{圆台} = \frac{1}{3} \pi h (r^2 + r r_1 + r_1^2)\)

\(S_{圆台} = \pi (r_1^2 + r^2 + r_1 l + r l)\)

\(V_{圆锥} = \frac{1}{3} \pi r^2 h\)

\(S_{圆锥} = \pi r (r + l)\)

表面积与体积关系

\(V=\frac{1}{3}S_表 r_外\)

类似地， \(S=\frac{1}{2}C r_外\)

正四面体

正四面体的高：\(h = \frac{\sqrt{6}}{3} a\)

正四面体的外接球半径：\(R = \frac{\sqrt{6}}{4} a\)

正四面体的内切球半径：\(r = \frac{\sqrt{6}}{12} a\)

正四面体的体积：\(V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^3\)

二面角

\(\cos\theta = \frac{S_{\text{射}}}{S_{\text{原}}}\)

外接球

\(R^2 = r_{底}^2 + \frac{h}{2}^2\)

如果有一个四面体，它的对棱相等，那么 \(R^2 = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{8}\)，其中 \(x\)、\(y\)、\(z\) 是三组对棱

如果补出长方体补体，那么 \(R^2 = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{4}\)，其中 \(a\)、\(b\)、\(c\) 是长方体的长、宽、高，即可解出 \(x\)、\(y\)、\(z\)

统计与概率

方差公式

\(S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \bar{x}^2\)

变换后的平均数和方差

设 \(x\) 的平均数为 \(\bar{x}\)，方差为 \(S^2\)

则 \(y=ax+b\) 的平均数为 \(\bar{y}=a\bar{x}+b\)，方差为 \(a^2S^2\)